When reading about theoretical physics, like relativity or quantum mechanics, sooner or later you come across statements like "... with $c=1$ ..." meaning the speed of light is set to be $1$. And similarly, for example with the gravitational constant: $G=1$.
This always made me grind my teeth, because: "One? One what?" And also I take some confidence from checking units in a formula for better understanding. If $c$ and $G$ just disappear, this can be quite confusing. Or, as Alan L Myers puts it:
However, for a person educated in the SI system of units, the lingo of “natural units” used by cosmologists is confusing and seems (incorrectly) to display a casual disregard of the importance of units in calculations.
This PDF by Myers is quite formal, which is nice, but still it left me scratching my head a bit. So I toyed around with the presented ideas to come up with an explanation I personally like. Whether it is 100% correct, I can't say, but ... well.
Myers writes two things in different formulas, which, together amount to:
$$1 = c = 2.9979\cdot 10^8\, \text{m/s}\strut$$
And to not carry around the unwieldy number, lets call it $c_0 := 2.9979\cdot 10^8$, so $c_0$ is really just shortcut for a number. Similarly, lets have $G_0$ as the numerical value of the gravitional constant such that we get:
\begin{align*} 1 = c &= c_0 \frac{\um}{\us}\\ 1 = G &= G_0 \frac{\um^3}{\ukg\,\us^2} \end{align*}
Taking this formally seriously, we see that
$$1\,\us = c_0\,\um\,$$
which basically tells us that meter and second are now "the same" unit connected by a mere dimensionless conversion factor. Distance and time are the same thing and can be converted into each other with the speed of light as the numerical factor. Which, for everyone having heard the term space-time, should not be a surprise. Fine.
What about the $G$? Rearranging the formula we get
\begin{align*} 1 &= G_0 \frac{\um^3}{\ukg\,\us^2} \\ \Leftrightarrow\quad 1\,\ukg &= G_0 \frac{\um^3}{\us^2} \\ \Leftrightarrow\quad 1\,\ukg &= \frac{G_0}{c_0^2}\,\um \end{align*}
telling us that the units of mass (or energy) and length are the same too. Weird.
Lets try some more.
\begin{align*} 1\,\uN &= \frac{G_0}{c_0^2}\frac{\um^2}{\us^2}\\ &= \frac{G_0}{c_0^4} \end{align*}
which makes force dimensionless.
\begin{align*} h &= h_0 \frac{G_0}{c_0^2}\,\um \frac{1}{c_0}\um \\ &= \frac{h_0 G_0}{c_0^3}\um^2\,. \end{align*}
Time has told that the above system of units makes sense and helps to make equations simpler. I think I understand it now a bit better. The PDF cited above formalises how to replace combinations of $\ukg^\alpha \um^\beta \us^\gamma$ easily with combinations of $G$ and $c$ to see the resulting unit, but it helped me to just do it step by step for a few examples.
Yet:
And finally, the above gymnastics raise the question: what are physical units anyway, in particular if we can dissolve them into each other so easily?
Das Rezept habe ich selbst "erfunden", obwohl natürlich klar ist, dass ich das in ähnlicher Form irgendwo gegessen oder gelesen habe. Die Kombination von Bohnen, Tomaten, scharf gewürzt und etwas Sähmigkeit durch den Feta ist sehr lecker.
Aufpassen: der Feta und je nach Marke auch die Bohnen aus der Dose bringen bereits Salz ins Gericht. Wenn das nicht reicht, lieber erst auf dem Teller nachsalzen.
Die reellen Zahlen, $\RB$, sind schon ein wenig komisch, im Vergleich zu den rationalen Zahlen $\QB$. Zur Erinnerung, $\QB$ sind die Zahlen die sich als Brüche von ganze Zahlen ergeben, sowas wie $7/9$, $1/3$ oder $31415926/10000000$. Man kann sie auch dadurch beschreiben, dass ihre Darstellung als Dezimalzahl hinter dem Komma nach hinten raus periodisch wird, das heißt dieselbe Ziffernfolge wiederholt sich unendlich oft. Die Zahl $1{,}3$ is formal gleich $1{,}30000....$ und hier ist es nur die $0$ die sich dann unendlich oft wiederholt. Bei $10/7 = 1{,}428571\, 428571\, 4286...$ ist es die Folge $428571$.
Aber zwischen den rationalen Zahlen liegen jeweils nochmal unendlich viele Zahlen die man nicht so darstellen kann, die irrationalen Zahlen, formal $\RB\setminus\QB$. Die haben eine Dezimaldarstellung bei der sich eben nicht eine kurze oder auch lange Folge von Ziffern immer wiederholt. Es kommen immer wieder andere Kombinationen. Beispiele sind $\pi$ und $\sqrt{2}$.
Typischerweise stellt man die reellen Zahlen, $\RB$ als Achse (gerade Linie) dar, man markiert einen Punkt als $0$, einen als $1$ und andere Stellen jeweils mit Zahlen die dem Abstand zur $0$ entsprechen, normiert auf den Abstand der $1$ zur $0$.
Jetzt kommen wir zum Kreis mit Radius $r=1/2$. Der hat den Umfang $u=2\pi r =\pi$. Wir markieren einen beliebigen Punkt auf dem Kreis, sagen wir den bei 6:00 Uhr. Dort heften wir von der reellen Achse die $0$ an und wickeln dann die positive Seite der reellen Achse um den Kreis herum und herum und herum und so weiter. Das können wir unendlich oft tun, da die reelle Achse ja unendlich lang ist.
Welche Zahlen landen auf diese Weise bei 6:00 Uhr? Die $0$, denn das haben wir ja so festgelegt. Der Kreis hat den Umfang $\pi$, nach der ersten Umwickelung landet also die Zahl $\pi$ bei 6:00 Uhr. Nach der zweiten Umwickelung landet $2\pi$ bei 6:00 Uhr usw.
Wenn wir uns eine beliebige rationale Zahl wählen, z.B. $1/3$, $67/13$ oder allgemein $q\in\QB$ dann landet die an einer bestimmten Stelle auf dem Kreis. Wenn wir dann weiter wickeln, wie viele andere rationale Zahlen landen an derselben Stelle auf dem Kreis?
Denn, nehmen wir an, eine andere Zahl $123.../734...$ oder einfach $a\in\QB$ landet auf der gewählten Zahl $q$. Das bedeutet ja, dass wir von dem Punkt auf dem $q$ liegt soundso oft einmal ganz rumwickeln müssen um dann zu sehen wie die Zahl $a$ an derselben Stelle landet. Wie weit ist die umwickelte Strecke? Ein ganzzahliges Vielfaches vom Kreisumfang, also von $\pi$. Sagen wir $k\pi$ für eine ganze Zahl $k$. Dann gilt aber $q + k\pi = a$. Stellt man das um, dann gilt
$$\pi =\frac{a-q}{k}\,.$$
Auf der rechten Seite stehen nur rationale Zahlen und es werden nur die Grundrechenarten verwendet. Dann muss die rechte Seite eine rationale Zahl sein. Aber wir wissen, dass $\pi$ irrational ist, was bedeutet, dass die Annahme falsch war: es gibt keine Zahl $a$ die an derselben Stelle wie $q$ landet.
Kann man das irgendwie intuitiv einordnen. Jeder versteht was anderes unter Intuition, aber ich biete folgendes an:
Zum zweiten Punkt kann man sich als Vergleich heranziehen, dass die irrationalen Zahlen dauernd kollidieren. Starte ich bei einer irrationalen Zahl, sagen wir $\sqrt{2}$, dann kollidiert die mit lauter anderen irrationalen Zahlen, nämlich mit allen $b=k\pi + \sqrt{2}$ für beliebige ganze Zahlen $k$. Wie wir gerade gesehen haben, kann darunter ja maximal eine rationale Zahl sein.